Hexagramm
Inhalt dieser Seite
Was ist ein Hexagramm?
Verschiedenes
Überschlagene regelmäßige Sechsecke
Satz von Pascal		 Falten eines Hexagramms
Hexagramm im Internet
Referenzen
.
Diese Webseite hat den gleichen Aufbau wie meine Seiten Pentagramm, Heptagramm, Oktagramm und Nonagramm.
Auf der Seite Nonagramm findet man unten eine Übersicht über die ersten Polygramme.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist ein Hexagramm?
... Ein Hexagramm ist ein regelmäßiger Stern mit sechs Zacken. 

Entstehung
... Der Stern entsteht, indem man auf ein regelmäßiges Sechseck sechs gleichseitige Dreiecke stellt. 
...... Der Stern entsteht auch, indem man zwei gleichseitige Dreiecke vorgibt, ein Dreieck um 180° dreht und dann die beiden Dreiecke so übereinander schiebt, dass die Mittellinien zusammenfallen. 
...... Der Stern entsteht auch, indem man ein regelmäßiges Sechseck vorgibt und die kurzen Diagonalen einzeichnet. 
Unregelmäßiges Hexagramm
...... Wenn man vom Wort her kommt, müsste man auch den nebenstehenden Stern als Hexagramm bezeichnen, denn Hexagramm  heißt "mit sechs Strichen". 

Im Sprachgebrauch ist das Hexagramm der regelmäßige Stern oben.
...... Das unikursale Hexagramm (s.u.) ist das Beispiel eines unregelmäßigen Hexagramms. ...............................
Sechszackstern
...... Ein allgemeiner sechszackiger Stern entsteht, wenn man auf ein konvexes Sechseck beliebige Dreiecke stellt. Diesen Stern sollte man nicht mehr als Hexagramm bezeichnen. Er besteht nicht aus sechs, sondern aus 18 Strichen oder Strecken. 

Er heißt Sechszackstern oder Sechseckstern.

Verschiedenes  top
Rauten
... Man könnte die Liste der drei Beschreibungen von oben noch erweitern: 
Gibt man sechs 60-Grad-Rauten vor, so kann man aus ihnen ein Hexagramm legen.

...... Früher waren Salmiakpastillen in Rautenform in Mode. Man feuchtete den (sauberen?) Handrücken an und legte aus sechs Pastillen einen Stern. Dann leckte man die Pastillen weg. 
Keltischer Knoten
...... Zeichnet man die Linien des Hexagramms dicker und dann abwechselnd Brücken und Unterführungen, so entsteht ein geflochtener Stern. 
Linien im Hexagramm
...
Kein Hexagramm
Parallelprojektionen regelmäßiger Körper
1 Oktaeder, 2 Kuboktaeder, 3 Abgestumpfter Würfel, 4 Abgestumpftes Dodekaeder, 
5 Kleines Rhombenkuboktaeder, 6 Kleines Rhombenikosidodekaeder, 7 Ikosaeder
...
Dreiecke
... 12 gleichseitige Dreiecke bilden ein Hexagramm.
Damit gehört diese Figur zu den Polyiamonds. 

Mehr finden man auf meiner Seite Polyiamonds.....................................................
Ausschnitt
...
Fraktal
...... Ein Fraktal ist eine Folge von Figuren, bei der sich die Ausgangsfigur in den folgenden Figuren als ähnliche wiederfindet.

Mehr auf meiner Seite Geometrische Folgen und Reihen
Fertige Hexagramme
Zu Windows 10 gehört das Zeichenprogramm MSPaint. Es bietet die Möglichkeit, fertige Hexagramme aufzurufen (und zu verfälschen).
......
Sternzahlen
...... Bei dieser Folge von Hexagrammen werden die Kreise gezählt. 

Mehr auf meiner Seite Figurierte Zahlen
Halma hat 121 Felder.
Basteln eines Sterns aus Perlen
...... Man benötigt für diesen Stern 30 Holzperlen und einen etwa 100 cm langen Draht mit einem Durchmesser von etwa 0,3 mm. (Ich habe beides bei Kik gekauft.)

Der Draht wird zu drei geschlossenen Ringen gebogen und nimmt dabei Perlen auf.. 

Für den ersten Umlauf zieht man 12 Perlen auf den Draht auf und verdrillt die beiden Enden, wobei man das eine Ende kurz wählt. Es entsteht ein Ring.
Beim zweiten Umlauf kommt 6x ein Perlenpaar dazu. 
Beim dritten Umlauf werden sechs Einzelperlen hinzugefügt, die die Spitze einer Zacke bilden. 

Zum Schluss werden die Drahtenden verdrillt und abgeschnitten. 
Bild dazu...

"Mrs. Greenhouse" beschreibt das Basteln dieses Sterns anhand einer Fotoreihe, URL unten. 
Schnell gemacht
...
Oktaederstern
... Der Oktaederstern ist sozusagen das dreidimensionale Hexagramm. 

Mehr über ihn auf meiner Seite Oktaederstern.
Magische Sterne
... Mehr auf meiner Seite Magische Quadrate..........................

Hexagramm und Doppelpyramiden aus Stabmagneten

Mehr Figuren und Körper findet man auf meiner Webseite Körper aus 24 Stabmagneten.

Überschlagene regelmäßige Sechsecke  top
...... ... Man kann die Punkte des regelmäßigen Sechsecks auch so verbinden, dass sich sie Linien überschneiden. 
Die Figuren, die dabei entstehen, bezeichnet man als überschlagene Sechsecke. 
Das "unikursale Hexagramm" hat eine große Bekanntheit erreicht. 

Es gibt durch die sechs Eckpunkte zehn weitere Figuren.
...
Die Figuren bilden Hamiltonkreise, da die Punkte durch eine geschlossene Linie verbunden werden.
... Das unikursale Hexagramm wird von sechs Diagonalen gebildet. 
Sie bilden ein Kreuz und zwei Winkel.

Unikursales Hexagramm heißt "Hexagramm aus einer Linie".
...... So wie das regelmäßige Hexagramm aus zwei Dreiecken gebildet werden kann, so erzeugen zwei konkave Vierecke das unikursale Hexagramm. Man gibt zwei Vierecke mit dem  kennzeichnenden Winkel von 120° vor, dreht das eine um 180° und schiebt beide so übereinander, dass ein Eckpunkt zusammenfällt.
Flächenvergleiche
...... Die beiden Flächeninhalte stehen im Verhältnis 5:6.
Die drei Flächeninhalte stehen im Verhältnis 1 : 3 : 9.
Formeln zum Nachrechnen findet man auf der Seite Online-Rechner (URL unten).

Satz von Pascal top
...... Wie heißt der Satz von Pascal?

Man gibt sechs Punkte auf einer Kreislinie vor und bildet ein Sechseck.
Verlängert die Seiten des Sechsecks, so entstehen drei Schnittpunkte. 

Der Satz besagt, sie liegen auf einer Geraden.

Dieses ist ein Spezialfall des Satzes. 

 

...... Das unikursale Hexagramm ist kein konvexes Sechseck, sondern ein "überschlagenes".

Die drei Geradenpunkte liegen im Inneren des Kreises. 
...... Und auch für das regelmäßige Hexagramm gilt der pascalsche Satz. 

Man muss allerdings akzeptieren, dass die drei Schnittpunkte "im Unendlichen" liegen.
Das ist möglich, nur verlässt man dann die euklidische Geometrie, sprich Schulgeometrie, und gelangt zur projektiven Geometrie. Da wird kein Unterschied gemacht zwischen endlichen und unendlichen Punkten.
Es ist noch eine Erweiterung des pascalschen Satzes möglich: An Stelle der Kreislinie kann man Kegelschnitte wählen.

Falten eines Hexagramms   top
(Author: Shizo Fujimoto)
... Wer das Hexagramm falten will, sollte die nebenstehende Figur auf ein halbes A4-Blatt ausdrucken und das Sechseck dann ausschneiden. 

... Dann muss man so falten, dass die roten Linien zu Talfaltungen und die blauen zu Bergfaltungen werden. 

Wichtig ist, dass die Faltlinien nachgezogen, also geschärft werden. 
... Wenn man sich konsequent an die Täler und Berge hält, kann man das Sechseck zu diesem kleinen Sechseckstern falten.
... Das ist mein Ergebnis. 
...... Volker Sayn faltete diesen Papierstern.

Er wurde aus einem Blatt mit Rot vorne und Weiß hinten gefaltet.

So sieht man, dass Vorder- und Rückseite dieselbe Struktur haben. 
...... ... Ich muss zugeben, dass der fertige Stern eine große Hilfe bei dieser kniffligen Faltarbeit war.

Deshalb zeige ich Vorder- und Rückseite halb geöffnet.
Der Papierstern beeindruckt, da sich der geöffnete Stern fast von selbst wieder schließt.
Kunstvoll gefaltete Sterne
...
Mehr auf meiner Seite Sechsstrahlige Figuren

Hexagramm im Internet  top

Deutsch

Mrs. Greenhouse (Do It Yourself & Lifestyle)
Sterne aus Holzperlen

Online-Rechner
Hexagramm, Unikursales Hexagramm

Wikipedia
Hexagramm, Unikursales Hexagramm,  Satz vonPascal,  Stern (Geometrie)

Englisch

Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Hexagram, Magic Hexagram, Pascals Theorem, Star Polygon, 

Wikipedia
Hexagram. Unicursal hexagram, Pascal s theorem, Star polygon

Youtube
Entstehung dreier Kolams
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Referenzen   top
(1) https://de.wikipedia.org/wiki/Hexagramm
(2) http://mathgardenblog.blogspot.com/2013/06/hexagrammum-mysticum1.html
(3) Martin Gardner: Mathematischer Zirkus, Berlin 1988 (ISBN 3550076924)


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© 11/2023 Jürgen Köller

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